一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合 ， ，那么集合
A. B．
C． D．
2.下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是
A．
B．
C．
D．
3. 已知 ，则 的值为
A． B． C． 或 D． 或
4. 设 且 ，则“ ”是“ ”成立的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5. 设 , 是两条不同的直线， , 是两个不同的平面.下列命题正确的是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
6. 已知三角形 外接圆 的半径为 （ 为圆心），且 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
7. 已知函数 则函数 的零点个数是
A． B． C． D．
8. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（ ）
A．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多
B．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多
C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个
D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.
9. 设平面向量 ，若 // ，则 .
10. 已知角 为三角形的一个内角，且 ， = . .
11. 已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是 .
12. 设各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 的值为 ， 的值为 ．
13．已知函数 在 上具有单调性，则实数 的取值范围是 .
14. 《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作.书中有如下问题:“今有良马与驽马发长安，至齐。齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里;驽马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还迎驽马.问几何日相逢.”其意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去.已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里;驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里.良马到齐后，返回去迎驽马.多少天后两马相遇.”利用我们所学的知识，可知离开长安后的第 天，两马相逢.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15. （本小题满分13分）
已知数列 （ ）是公差不为0的等差数列， 若 ，且 成等比数列.
（Ⅰ）求 的通项公式;
（Ⅱ）若 ，求数列 的前 项和 .
16. （本小题满分13分）
已知函数 （ ）的图象经过点 .
（Ⅰ）求 的最小正周期；
（Ⅱ）若 ，求 的取值范围.
17. （本小题满分13分）
如图，已知 四点共面，且 , , , , .
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）求 .
18. （本小题满分14分）
如图，四边形 为矩形， 平面 ， ．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若直线 平面 ，试判断直线 与平面 的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）若 ， ，求三棱锥 的体积．
19. （本小题满分13分）
已知函数 ， .
（Ⅰ）若曲线 在点 处切线斜率为 ，求函数 的最小值；
（Ⅱ）若函数 在区间 上无极值，求 的取值范围.
20. （本小题满分14分）
已知函数 .
（I）若 ，求函数 的单调区间；
（Ⅱ）若 ，且 在区间 上恒成立，求 的取值范围；
（III）若 ，判断函数 的零点的个数.
北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试
数学答案（文史类） 2016.11
一、选择题：（满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D A B A B A
二、填空题：（满分30分）
题号 9 10 11 12 13 14
答案
（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）
三、解答题：（满分80分）
15. （本小题满分13分）
解: （Ⅰ）设 的公差为 ，
因为 成等比数列，所以 .
即 ，即 .
又 ，且 ，解得 .
所以有 . ……………………………………8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知： .
则 .
即 .
…………………………………13分
16. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为函数 的图象经过点 ，
所以 解得 .
所以 .
所以 最小正周期为 . …………………7分
（Ⅱ）因为 ，所以
所以当 ，即 时， 取得最大值，最大值是 ；
当 ，即 时， 取得最小值，最小值是
所以 的取值范围是 . ……………………13分
17. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）在△ 中，因为 ，所以 ．
由正弦定理 得，
． ……………………5分
（Ⅱ）在△ 中，由 得，
． 所以 ．
解得 或 （舍）．
由已知得 是锐角，又 ，所以 .
所以 .
．
在△ 中，因为
，
所以 ． ……………………………13分
18. （本小题满分14分）
证明：（Ⅰ）因为 底面 ，
所以 底面 ．
所以 ．
又因为底面 为矩形，
所以 ．
又因为 ，
所以 平面 ．所以 ． …………4分
（Ⅱ）若直线 平面 ，则直线 平面 ．证明如下，
因为 ，且 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
在矩形 中， ，且 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
又因为 ，所以平面 平面 ．
又因为直线 平面 ，所以直线 平面 ． ………………9分
（Ⅲ）易知，三棱锥 的体积等于三棱锥 的体积.
由（Ⅰ）可知， 平面 ．
又因为 ，
所以 平面 ．
易证 平面 ，所以点 到平面 的距离等于 的长．
因为 ， ，所以 ．
所以三棱锥 的体积 ． …………14分
19. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为 ，所以 .
依题意， ,解得 .
所以 ， .
当 时， ，函数 为增函数；
当 时， ，函数 为减函数；
所以函数 的最小值是 . …………………………6分
（Ⅱ）因为 ，所以 .
（1） 若 ，则 .此时 在 上单调递减，满足条件.
（2） 若 ，令 得 .
(ⅰ)若 ，即 ，则 在 上恒成立.
此时 在 上单调递减，满足条件.
(ⅱ)若 ，即 时，由 得 ；
由 得 .
此时 在 上为增函数，在 上为减，不满足条件.
(ⅲ)若 即 .则 在 上恒成立.
此时 在 上单调递减，满足条件.
综上， . …………………………………………………13分
20. （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）若 ，则 ，
由 得， ；由 得， .
所以函数 的单调增区间为 ；单调减区间为 . ………………3分
（Ⅱ）依题意，在区间 上 .
.
令 得， 或 .
若 ，则由 得， ；由 得， .
所以 ，满足条件；
若 ，则由 得， 或 ；由 得， .
，
依题意 ，即 ，所以 .
若 ，则 .
所以 在区间 上单调递增，
，不满足条件；
综上， . ……………………………………9分
（III） , .
所以 .设 ，
.
令 得 .
当 时， ；当 时， .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 的最小值为 .
因为 ，所以 .
所以 的最小值 .
从而， 在区间 上单调递增.
又 ，
设 .
则 .令 得 .由 ，得 ；
由 ，得 .所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 .
所以 恒成立.所以 ， .
所以 .
又 ，所以当 时，函数 恰有1个零点. …………14分
编辑者：南宁家教（南宁家教网)
